Pour tous réels $a$ et $b$ on a :
$|a+b|^2$ $=$ $(a+b)^2$ $=$ $a^2+b^2+2ab$.
Or, $ab \leq |ab|$,ce qui donne :

Par croissance de la fonction racine carrée sur $\mathbb{R}^+$, on a bien :
$$|a+b| \leq |a|+|b|.$$

Si $|a+b| = |a|+|b|$, on a alors :

Si $||a|-|b||$ $=$ $|a-b|$, on a alors :

Inégalité triangulaire (cas réels)

Preuve