Théorème d'échantillonnage de Shannon
Soit $A > 0$. On définit l'espace $BL^2_A = \{f \in L^2(\mathbb{R}) : \text{supp}(\hat{f}) \subseteq [-A, A]\}$ des fonctions à bande limitée. Alors : 1. $BL^2_A$ est un espace de Hilbert pour le pro…
Théorème de Bolzano-Weierstrass par extraction monotone
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Théorème de Bolzano-Weierstrass par dichotomie
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Théorème de Weierstrass (par convolution et approximation de l'unité)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$. Alors il existe une suite de polynômes convergeant uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Théorème d'approximation de Weierstrass (par les polynômes de Bernstein)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Alors pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un polynôme $P$ tel que pour tout $x \in [a,b]$, on a $|f(x) - P(x)| < \varepsilon$. Autrement dit, …
Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $[a,b]$. S'il existe $M \in \mathbb{R}_+$ tel que $\forall x \in ]a,b[$, $|f^{(n+1)}(x)| \leq M$, alors…
Formule de Taylor-Lagrange
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$. Alors il existe $c \in ]a,b[$ tel que…
Les parties connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ muni de la topologie usuelle. Alors $A$ est connexe si et seulement si $A$ est un intervalle.
L'image d'un espace connexe par une application continue est connexe
Soit $X$ un espace topologique connexe et $f : X \to Y$ une application continue entre espaces topologiques. Alors $f(X)$ est connexe.
Théorème de Dirichlet pour les séries de Fourier
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction $2\pi$-périodique, de classe $C^1$ par morceaux. Alors en tout réel $x$, la série de Fourier de $f$ converge vers $$\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$$ où…
Identité de Parseval : caractérisation des bases hilbertiennes
Soit $H$ un espace de Hilbert et $(e_i)_{i \in I}$ un système orthonormé. Alors $(e_i)_{i \in I}$ est une base hilbertienne de $H$ si et seulement si pour tout $x \in H$, on a…
Existence d'une base hilbertienne dans un espace de Hilbert séparable
Soit $H$ un espace de Hilbert séparable. Alors $H$ possède une base hilbertienne dénombrable.
Théorème de représentation de Riesz
Soit $H$ un espace de Hilbert. Pour toute forme linéaire continue $\varphi : H \to \mathbb{C}$ (ou $\mathbb{R}$), il existe un unique élément $y \in H$ tel que…
Théorème de projection sur un convexe fermé
Soit $H$ un espace de Hilbert et $C \subset H$ un sous-ensemble convexe fermé non vide. Pour tout $x \in H$, il existe un unique point $P_C(x) \in C$ tel que…
Convergence normale implique convergence uniforme
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$. Si la série $\sum_{n \geq 0} f_n$ converge normalement sur $I$, c'est-à-dire si $\sum_{n \geq 0} \|f_n\|_\infty$ converge, alors la …
Continuité de la limite uniforme de fonctions continues
Soit $I = [a,b]$ un intervalle fermé borné et $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur $I$ qui converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $f$ est continue sur $I$.
Théorème de Borel (Réalisation des séries de Taylor)
Soit $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite quelconque de nombres réels (ou complexes). Il existe une fonction $u \in C^\infty(\mathbb{R})$ telle que $$\forall k \in \mathbb{N}, \quad u^{(k)}(0) = a_k.$$
Théorème de Borel-Lebesgue (Heine-Borel)
Un ensemble $K \subset \mathbb{R}^n$ est compact si et seulement s'il est fermé et borné.
Métriques équivalentes induisent la même topologie
Soit $X$ un ensemble. Deux métriques $d$ et $d'$ sur $X$ sont dites équivalentes s'il existe des constantes $c, C > 0$ telles que pour tout $x, y \in X$ : $$cd(x,y) \leq d'(x,y) \leq Cd(x,y)$$ **Théo…
Théorème de Riesz (compacité)
Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé. Alors $E$ est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée $B = \{x \in E : \|x\| \leq 1\}$ est compacte.
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