Intervalle de fluctuation (échantillonnage statistique)
Soit une population où un caractère est présent avec une proportion $p$ (avec $0 < p < 1$). On considère un échantillon aléatoire de taille $n$ suffisamment grande (en pratique $n \geq 25$ et…
Théorème d'échantillonnage de Shannon
Soit $A > 0$. On définit l'espace $BL^2_A = \{f \in L^2(\mathbb{R}) : \text{supp}(\hat{f}) \subseteq [-A, A]\}$ des fonctions à bande limitée. Alors : 1. $BL^2_A$ est un espace de Hilbert pour le pro…
Théorème de Bolzano-Weierstrass par extraction monotone
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Théorème de Bolzano-Weierstrass par dichotomie
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Théorème de Weierstrass (par convolution et approximation de l'unité)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$. Alors il existe une suite de polynômes convergeant uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Théorème d'approximation de Weierstrass (par les polynômes de Bernstein)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Alors pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un polynôme $P$ tel que pour tout $x \in [a,b]$, on a $|f(x) - P(x)| < \varepsilon$. Autrement dit, …
Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $[a,b]$. S'il existe $M \in \mathbb{R}_+$ tel que $\forall x \in ]a,b[$, $|f^{(n+1)}(x)| \leq M$, alors…
Formule de Taylor-Lagrange
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$. Alors il existe $c \in ]a,b[$ tel que…
Les parties connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ muni de la topologie usuelle. Alors $A$ est connexe si et seulement si $A$ est un intervalle.
L'image d'un espace connexe par une application continue est connexe
Soit $X$ un espace topologique connexe et $f : X \to Y$ une application continue entre espaces topologiques. Alors $f(X)$ est connexe.
Théorème de Dirichlet pour les séries de Fourier
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction $2\pi$-périodique, de classe $C^1$ par morceaux. Alors en tout réel $x$, la série de Fourier de $f$ converge vers $$\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$$ où…
Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet
Pour tout entier $n$ non nul et tout entier $m$ premier avec $n$, il existe une infinité de nombres premiers congrus à $m$ modulo $n$ (c'est-à-dire de la forme $m + an$ avec $a$ entier).
Identité de Parseval : caractérisation des bases hilbertiennes
Soit $H$ un espace de Hilbert et $(e_i)_{i \in I}$ un système orthonormé. Alors $(e_i)_{i \in I}$ est une base hilbertienne de $H$ si et seulement si pour tout $x \in H$, on a…
Existence d'une base hilbertienne dans un espace de Hilbert séparable
Soit $H$ un espace de Hilbert séparable. Alors $H$ possède une base hilbertienne dénombrable.
Théorème de représentation de Riesz
Soit $H$ un espace de Hilbert. Pour toute forme linéaire continue $\varphi : H \to \mathbb{C}$ (ou $\mathbb{R}$), il existe un unique élément $y \in H$ tel que…
Théorème de projection sur un convexe fermé
Soit $H$ un espace de Hilbert et $C \subset H$ un sous-ensemble convexe fermé non vide. Pour tout $x \in H$, il existe un unique point $P_C(x) \in C$ tel que…
Loi faible des grands nombres
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, possédant une espérance $m$ et une variance $\sigma^2$ finies. Alors la moyenne empirique …
Convergence $L^p$ implique convergence en probabilité
Soit $p \geq 1$. Si $(X_n)$ et $X$ sont dans $L^p$ et si $X_n \xrightarrow{L^p} X$, alors $X_n \xrightarrow{\mathbb{P}} X$.
Convergence normale implique convergence uniforme
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$. Si la série $\sum_{n \geq 0} f_n$ converge normalement sur $I$, c'est-à-dire si $\sum_{n \geq 0} \|f_n\|_\infty$ converge, alors la …
Continuité de la limite uniforme de fonctions continues
Soit $I = [a,b]$ un intervalle fermé borné et $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur $I$ qui converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $f$ est continue sur $I$.
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