L'intervalle $[0,1]$ n'est pas dénombrable, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de bijection entre $\mathbb{N}$ et $[0,1]$.

Pour tout ensemble $E$, on a $\text{Card}(E) < \text{Card}(\mathcal{P}(E))$, où $\mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties de $E$.

Soit $p$ un nombre premier et $n \geq 1$ un entier. Alors il existe un corps fini à $p^n$ éléments, et deux corps finis de même cardinal sont isomorphes. Ce corps, unique à isomorphisme près, est noté…

Soit $\mathbb{F}_q$ un corps fini à $q$ éléments. Alors le groupe multiplicatif $(\mathbb{F}_q^*, \cdot)$ est cyclique d'ordre $q-1$.

Soit $K$ un corps. Tout sous-groupe fini $G$ du groupe multiplicatif $K^{\times}$ est cyclique.

Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors l'ordre de $H$ divise l'ordre de $G$, c'est-à-dire $$|G| = |H| \cdot [G:H]$$ où $[G:H]$ est l'indice de $H$ dans $G$ (le nombre de classes à…

Soit $(G, \cdot)$ un groupe. Alors l'élément neutre est unique, et pour tout $g \in G$, l'inverse de $g$ est unique.

Soit une cycloïde engendrée par un cercle de rayon $R$ roulant sans glisser sur une droite. La longueur d'une arche de cycloïde est égale à $8R$.

Soit une cycloïde engendrée par un cercle de rayon $R$ roulant sans glisser sur une droite. L'aire sous une arche de cycloïde est égale à $3\pi R^2$.

Soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$. Alors $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$

Soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$. Alors $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$ Équivalemment : pour tout entier $a$, on a $a^p \equiv a \pmod{p}$.

Pour tout entier $n \geq 1$, le polynôme cyclotomique $\Phi_n(X)$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ (et sur $\mathbb{Z}$).

Pour tout entier $n \geq 1$, le $n$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_n(X)$, défini par $$\Phi_n(X) = \prod_{\substack{1 \leq k \leq n \\ \gcd(k,n)=1}} \left(X - e^{2i\pi k/n}\right),$$ est un polynôme…

Soit $n \geq 2$ un entier et $a_1, a_2, \ldots, a_n$ des nombres complexes. Le déterminant de Vandermonde $V(a_1, \ldots, a_n)$ défini par la matrice dont le coefficient $(i,j)$ est $a_j^{i-1}$ vérifi…

Soit $n \geq 2$ un entier et $a_1, a_2, \ldots, a_n$ des nombres complexes. Le déterminant de Vandermonde est défini par…

Soit $(X,d)$ un espace métrique complet. Si $(F_n)_{n\geq 1}$ est une suite de fermés d'intérieur vide dans $X$, alors $\bigcup_{n\geq 1}F_n$ est d'intérieur vide.

Soit $(X,d)$ un espace métrique complet. Alors toute intersection dénombrable d'ouverts denses dans $X$ est dense dans $X$.

Soit $B^n$ la boule unité fermée de $\mathbb{R}^n$. Toute application continue $f : B^n \to B^n$ admet un point fixe.

Soit $(E,d)$ un espace métrique complet et $f : E \to E$ une application contractante, i.e. $\exists k \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in E^2$, $d(f(x),f(y)) \leq k d(x,y)$. Alors $f$ possède un un…

Soient $n_1, \ldots, n_k$ des entiers $\geq 2$ premiers entre eux deux à deux, et $N = n_1 \cdots n_k$. Alors l'application…