Théorème de Borel (Réalisation des séries de Taylor)
Soit $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite quelconque de nombres réels (ou complexes). Il existe une fonction $u \in C^\infty(\mathbb{R})$ telle que $$\forall k \in \mathbb{N}, \quad u^{(k)}(0) = a_k.$$
Théorème de Borel-Lebesgue (Heine-Borel)
Un ensemble $K \subset \mathbb{R}^n$ est compact si et seulement s'il est fermé et borné.
Théorème de Borsuk-Ulam en dimension 1
Soit $f : S^1 \to \mathbb{R}$ une fonction continue, où $S^1 = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$ est le cercle unité. **Théorème** : Il existe un point $x \in S^1$ tel que $f(x) = f(-x)$.
Métriques équivalentes induisent la même topologie
Soit $X$ un ensemble. Deux métriques $d$ et $d'$ sur $X$ sont dites équivalentes s'il existe des constantes $c, C > 0$ telles que pour tout $x, y \in X$ : $$cd(x,y) \leq d'(x,y) \leq Cd(x,y)$$ **Théo…
Théorème de Riesz (compacité)
Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé. Alors $E$ est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée $B = \{x \in E : \|x\| \leq 1\}$ est compacte.
Lemme de Riesz
Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé, $F$ un sous-espace vectoriel fermé strict de $E$, et $r \in ]0,1[$. Alors il existe un vecteur $u \in E$ tel que $\|u\| = 1$ et $d(u, F) \geq r$, où…
Théorème de Brianchon (Dual de l'hexagramme de Pascal)
Soit un hexagone $ABCDEF$ circonscrit à une conique (les six côtés sont tangents à la conique). Alors les trois grandes diagonales de l'hexagone sont concourantes. Plus précisément : les droites…
Théorème de Pascal (Hexagramme Mystique)
Soit un hexagone $ABCDEF$ inscrit dans une conique (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole). Les trois points d'intersection des côtés opposés sont alignés. Plus précisément : soient $M$, $N$ et $P$ …
Orthogonalité des espaces propres d'une matrice symétrique
Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $\lambda_1, \lambda_2$ deux valeurs propres distinctes de $A$. Alors les espaces propres $E_{\lambda_1}$ et $E_{\lambda_2}$ sont orthogonaux, c'e…
Indépendance linéaire des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
Soit $A \in M_n(K)$. Soient $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r$ des valeurs propres distinctes de $A$, et soit $X_i$ un vecteur propre associé à $\lambda_i$ (pour $1 \leq i \leq r$). Alors les v…
Théorème de Frattini pour les $p$-groupes finis
Soit $G$ un $p$-groupe fini et soit $\Phi(G)$ son sous-groupe de Frattini. Alors $\Phi(G) = G^p[G,G]$, où $G^p$ est le sous-groupe engendré par les puissances $p$-èmes des éléments de $G$ et $[G,G]$ e…
Nilpotence du sous-groupe de Frattini d'un groupe fini
Soit $G$ un groupe fini et soit $\Phi(G)$ son sous-groupe de Frattini, défini comme l'intersection de tous les sous-groupes maximaux de $G$. Alors $\Phi(G)$ est nilpotent.
Tout sous-groupe fini d'un corps est cyclique
Soit $K$ un corps. Tout sous-groupe fini $G$ du groupe multiplicatif $K^\times$ est cyclique.
Densité des polynômes orthogonaux dans $L^2(I,\rho)$
Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle et $\rho: I \to \mathbb{R}_+^*$ une fonction intégrable telle qu'il existe $\alpha > 0$ vérifiant $\int_I e^{\alpha|x|}\rho(x)\,dx < +\infty$. Montrer que l'e…
Premier théorème fondamental de l'analyse (via sommes de Riemann)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction intégrable sur $[a,b]$. On définit la fonction $F : [a,b] \to \mathbb{R}$ par $$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$ pour tout $x \in [a,b]$. Alors $F$ est continu…
Convergence des sommes de Riemann vers l'intégrale (fonction continue)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$. Soit $\sigma_n$ une subdivision régulière de $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. Pour c…
Critère de Riemann pour les intégrales généralisées à l'infini
Soit $a > 0$ et $f$ une fonction continue par morceaux sur $[a, +\infty[$. 1. S'il existe $\alpha > 1$ tel que $\lim_{t \to +\infty} t^\alpha f(t) = 0$, alors…
Critère d'intégrabilité de Riemann (Darboux)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction bornée. Alors $f$ est Riemann intégrable si et seulement si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une subdivision $\sigma$ de $[a,b]$ telle que…
Produit de Cauchy de deux séries (théorème de convergence)
Soient $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ deux séries numériques absolument convergentes. Alors la série de terme général $$w_n = \sum_{k=0}^{n} u_k v_{n-k}$$ (produit de Cauchy) est absolument convergente …
Inégalité de Cauchy-Schwarz (méthode par polynôme)
Soit $E$ un espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Pour tout couple $(x,y)$ de vecteurs de $E$, on a : $$|\langle x,y \rangle| \leq \|x\| \|y\|$$ avec égalité si e…
153 démonstrations