Théorème de convergence dominée (via convergence monotone)
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables convergeant p.p. vers $f$, avec $|f_n| \leq g$ p.p. où $g$ est intégrable. Alors $f$ est intégrable et…
Théorème de convergence dominée (via lemme de Fatou)
Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables. Si $f_n \to f$ presque partout, et s'il existe $g$ intégrable avec $|f_n| \leq g$ p.p. pour tout $n$, alors…
Intégrale et primitive
Soit $f$ une fonction continue, croissante et positive sur un intervalle $[a;b]$. Alors la fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par : $$\displaystyle{\int_a^x f(t)\mathrm{d}t}$$ est…
Résolution de $y'=ay$
Soit $a$ un nombre réel. L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=ay$ est l'ensemble des fonctions $x\mapsto C\text{e}^{ax}$, où $C$ est une constante réelle quelcon…
Dérivée seconde et tangentes
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivables sur un intervalle $[a\,;b]$ de $\mathbb{R}$. Si $f''$ est positive, alors la courbe représentative de $f$ est au-dessus de ses tangentes.
Caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction
Soit $D$ une partie de $\mathbb{R}$, $f:D\mapsto\mathbb{R}$ une fonction et $x_0\in\overline{D}$. On a alors que $f$ admet une limite $\ell$ en $x_0$ si et seulement si, pour tout suite $(u_n)$ d'é…
$\mathbb{R}$ est archimédien
Soient $x$ et $a$ deux nombres réels avec $a>0$. Il existe alors $n\in\mathbb{N}$ tel $na>x$.
Caractérisation séquentielle de la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$
Pour tout nombre réel $x$, il existe une suite $(r_n)$ de nombres rationnels qui converge vers $x$.
Dérivée de la fonction logarithme népérien
La fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]0 ;+\infty [$ et pour tout réel $x$ strictement positif, $$(\ln(x))' = \dfrac{1}{x}.$$
Suites arithmético-géométriques
Soient $q$ et $r$ deux réels, et $(u_n)$ la suite arithmético-géométrique définie pour tout entier $n$ par $u_{n+1}=qu_n+r$. Si $q\neq 1$, on a alors pour tout entier $n$ :…
$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$
Pour tous réels $x$ et $y$ tels $x < y$, il existe $r\in\mathbb{Q}$, tel que $x < r < y.$
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