Soit $n$ un entier naturel. Le nombre $n$ est impair si et seulement si $n^2$ est impair.

Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ une application linéaire sur $E$. On a alors : $$\text{ker}f^2=\text{ker}f \Longleftrightarrow \text{ker}f\cap\text{Im}f=\{0_E\}.$$

Soit $n\geq 2$ un entier naturel. On note $\displaystyle{\prod_{p\leq n}p}\,$ le produit des nombres premiers inférieurs à $n$. On a alors : $$\prod_{p\leq n}p\leq 4^{n-1}.$$

Pour tout réel $x$, $\cos^3(x)=\dfrac{1}{4}\cos(3x)+\dfrac{3}{4}\cos(x)$.

Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Il existe une infinité de nombres premiers.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On a alors : $|a+b| \leq |a|+|b|$, $||a|-|b|| \leq |a-b|$.Si $|a+b|=|a|+|b|$ alors $a$ et $b$ sont de même signe, Si $||a|-|b||=|a-b|$ alors $a$ et $b$ sont de…

Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ une application linéaire sur $E$. On a l'équivalence suivante : $$\text{Im} f^2=\text{Im} f \Longleftrightarrow E=\text{Ker}f+\text{Im}f.$$

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls et $n$ un entier naturel non nul. On a alors : $|zz'|$ $=$ $|z||z'|$,$\arg(zz')$ $=$ $\arg(z)+\arg(z') \: [2\pi]$.

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que $b\neq0$. Il existe un unique couple $(q\,;n)$ de $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$ tel que $a=bq+r$ avec $0\leq r < |b|$.

Soit $n$ un entier naturel. $n$ est divisible par $3$ si et seulement si la somme des chiffres qui le composent est divisible par $3$. $n$ est divisible par $9$ si et seulement si la somme des chiff…

Soit une série $X$ composée des $n$ nombres réels $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$. Pour tout nombre réel $x$, la fonction $S$ définie par $\displaystyle{S(x)=\sum_{i=1}^n (x_i-x)^2}$ est minimale pour…

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :…

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers probabilisé. Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi.

On considère un plan $\mathscr{P}$ de l'espace ainsi qu'un point $A$. On note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr{P}$. Pour tout point $M\in\mathscr{P}$, $AH\leq AM$.

Pour tout rectangle non plat il existe un carré de même aire obtenu par construction à partir de celui-ci.

Soit $n$ entier naturel et $p$ un nombre premier. Alors : $$v_p(n!)=\sum_{k\geq1} \left\lfloor \dfrac{n}{p^k} \right\rfloor. $$

Soit $p$ un nombre premier et soit $a$ un entier naturel. Alors : $a^{p}\equiv a \,\,[p],$ si $p$ ne divise pas $a$ : $a^{p-1}\equiv 1 \,\,[p].$

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : $$|z+z'| \leq |z|+|z'|.$$

Soient $\mathbb{K}$ un corps, $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie sur $\mathbb{K}$ et $\varphi:E\rightarrow F$ une application linéaire. Si $\{ e_1\, , \dots \, , e_n \}$ est une ba…