Intégrale et primitive
Soit $f$ une fonction continue, croissante et positive sur un intervalle $[a;b]$. Alors la fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par : $$\displaystyle{\int_a^x f(t)\mathrm{d}t}$$ est…
Formule sur la variance
Pour tout série statistique composée de $n\in\mathbb{N}^*$ éléments $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ on a :…
Hauteurs d'un triangle
Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.
Résolution de $y'=ay$
Soit $a$ un nombre réel. L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=ay$ est l'ensemble des fonctions $x\mapsto C\text{e}^{ax}$, où $C$ est une constante réelle quelcon…
Formule de Legendre
Soit $n$ entier naturel et $p$ un nombre premier. Alors : $$v_p(n!)=\sum_{k\geq1} \left\lfloor \dfrac{n}{p^k} \right\rfloor. $$
Loi uniforme
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle $[a\,;b]$. $\forall c\in\mathbb{R}$, $P(X=c)=0$. Soient $\alpha < \beta$ deux réels de l'intervalle $[a\,;b]$, alors :…
Cinq points dans un carré
On considère un carré de côté $1$ dans lequel sont placés aléatoirement cinq points. Alors, la plus petite distance entre deux points est inférieure à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Formule de Pascal
Pour tout entier naturel non nul $n$, pour tout entier naturel $k\leq n$ : $${n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k} = {n \choose k}.$$
Dérivée seconde et tangentes
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivables sur un intervalle $[a\,;b]$ de $\mathbb{R}$. Si $f''$ est positive, alors la courbe représentative de $f$ est au-dessus de ses tangentes.
Caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction
Soit $D$ une partie de $\mathbb{R}$, $f:D\mapsto\mathbb{R}$ une fonction et $x_0\in\overline{D}$. On a alors que $f$ admet une limite $\ell$ en $x_0$ si et seulement si, pour tout suite $(u_n)$ d'é…
$\mathbb{R}$ est archimédien
Soient $x$ et $a$ deux nombres réels avec $a>0$. Il existe alors $n\in\mathbb{N}$ tel $na>x$.
$\frac{1}{3}$ n'est pas un décimal
$\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
Trace d'un produit
Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels non nuls et $\mathbb{K}$ un corps multiplicatif. Soient deux matrices $A$ et $B$ telles que $A\in\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K})$ et…
Diviseur premier d'un entier naturel
Tout entier naturel supérieur ou égale à $2$ admet un diviseur premier.
Théorème de Wilson
Soit $p\in\mathbb{N}$, $p\geq 2$. $p$ est un nombre premier si et seulement si $(p-1)!\equiv-1\,[p]$.
Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$ et $c$ des entiers naturels non nuls. Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ est premier avec $b$ alors $a$ divise $c$.
Théorème du rang
Soient $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie sur $\mathbb{K}$ et $\varphi:E\rightarrow F$ une application linéaire. On a alors :…
Théorème de Bézout
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$.
Sous-groupes de $\mathbb{Z}$
Les sous-groupes de $\left(\mathbb{Z}\,,+\right)$ sont les sous-ensembles $n\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{N}$.
PGCD et multiples
Soient $a$, $b$ et $k$ trois entiers naturels non nul. On a alors : $$PGCD(ka\,; kb) = k\, PGCD(a\,;b).$$
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